中学受験

【中学受験】子どもでもすぐに理解できる、つるかめ算の解き方を解説!

 

こんな方におすすめ

  • 子どもがつるかめ算が苦手なので克服させたい
  • 子どもにつるかめ算を説明するにはどうしたらいいか知りたい

実はつるかめ算は小学校では習わないのですが、中学受験では頻出です。

必ず抑えておかなければなりません。

ですが、どのようにしたら子どもがつるかめ算を克服できるのか、悩んでいる保護者の方もいらっしゃるのではないでしょうか。

この記事ではつるかめ算の基本から応用まで解説しています。

【中学受験】志望校判定テストについてはこちらをご覧下さい。

 

つるかめ算 基本編

つるかめ算は通常、以下のような問題設定にされています。

問:つるとかめが合わせて10匹います(本来であれば、つるは匹ではなく羽ですが)。それらの足の合計本数は、32本です。つるは何羽いますか?

このような問題を「つるかめ算」と呼びます。ですが、つるとかめに限らず、「50円のみかん」と「80円のりんご」が問題になっていることもあります。

問題のなかに「2種類のものの2つの合計」が出てきたら「あ、つるかめ算の出番だ」と気付かなければなりません。

この「つるかめ算」がスムーズに解けるようになるためには、かなりの練習が必要です。

 

【基本編】全てをつるだと考えると…?

この基本編の手法では、まずはじめに「全てがつる」だと考えます。

つるの足は2本ですね。上に記した例題では、それが10匹いるということです。

すなわち、足2本 × つる10匹=20本の足

ですが、問題文では合計の足の数が32本だとされています。

つまり、この10匹のうち、何匹かは、かめなのです。

どれくらいのかめが紛れ込んでいるのでしょうか。

正しい足の数、32になるには何本足りないのか、下の計算で求めましょう。

32本-20本=12本

全てがつるだと考えると12本足りない。

そこで発想の転換です。

1匹のつるを、かめ1匹だと仮定しましょう。

すると、2本足のつるから4本足のかめになったので、足の合計が2本増えたことになります。

つまり、足を12本増やすには、亀が何匹必要なのかを計算して求めればいいのです。

すなわち、12本÷2本=6匹

つるのかずは全体の10から引けばいいので、10-6=4羽となります。

よって答えは、つるは4羽が正解です。

ここまでが基本編です。

 

【応用編】距離と時間の問題

繰り返しになりますが、つるかめ算は、いつでもつるとかめが出てくるわけではありません。

つるかめ算を使えば、次のような問題も解くことが出来ます。

問: 5kmの道のりを、はじめは分速200mで走り、しばらくして分速100mで歩いたら40分で移動し終えました。走った時間と歩いた時間はそれぞれ何分ずつですか。

この場合も、上記の例の応用で解けます。

全部の距離を分速200mで移動したとすると、分速200m/分×40分で、

200m/分×40分=8000m

ですが問では5kmの道を移動したとされています。

8,000m-5,000m=3,000m

分速100mで移動した時間を求めると、

100m/分×(80-50)=3,000m

つまり、5,000mの道のりのうち、2,000mを分速200mで10分間走り、残りの3,000mを30分で歩いたことになります。

ところでこの問を中学1年生ではどうやって解くのでしょうか。

以下に示します。

{200x+100y=5000

{x+y=40

以上2つの式を連立方程式として扱うと、

y=40-x

200x+100(40-x) =5000

200x+4000-100x=5000

100x=1000

x=10分

方程式を使ったほうが、楽といえば楽かもしれません。

しかしそれはxという抽象概念を理解し、使いこなせる大人にとっては楽なだけであり、子どもにとっては分かりにくいかもしれません。

 

つるかめ算 応用編

面積図での解法

2つ目の方法は、「面積図」という手法を使って解いていきます。

まずは図の書き方から解説していきます。

つるかめ算

つるを〇匹、かめを△匹としておき、合わせて10匹になり、全部で足の数が28本になる、ということをこの図形で表します。

図でいうと、10と書かれた底辺の部分が合計匹数、図の中の「28本」は足の数の合計です。

さて、この10と書かれた線の上に、それぞれの足の数を、長方形のたての長さで表してみましょう。

そうすると、たての長さ2の長方形と、たての長さ4の長方形ができます。

これはつまり、つるの2本の足とかめの4本の足を表しています。

ここでもし、もし全てがかめだと想定すると、4×10=40本の足があることになりますが、実際は28本です。

よって40-28=12。12本が足りていません。

なので、12本÷( 4-2 ) でつるの数は6羽だと求めることが出来ます。

そして、かめの数は10-6=4匹です。

視覚的に表すと理解しやすいですね。

発展問題

問:卵を1パック運ぶと20円もらえるが、途中で卵を1個でも割ってしまうと、1パックあたり40円を支払わなくていはいけない仕事がある。50パック運んだとき、760円もらえたとすると、割ってしまった卵のパックはいくつか。

繰り返しになりますが、問題のなかに「2種類のものの2つの合計」が出てきたら「あ、つるかめ算の出番だ」と気付かなければなりません。

今回の例題でいうと、以下が「2種類のものの2つの合計」にあたります。

「無事に運べたパック数」と「割ってしまったパック数」の合計が50個。

「無事に運べたパック数」と「割ってしまったパック数」の合計金額が760円。

それでは実際に問題を解いてみましょう。

まずは、「すべてのパックを無事に運ぶことができた」と仮定してみましょう。

全部運べた場合は、20円 × 50パック=1,000円もらえることになります。

しかしこれは、あくまでもらえた「はず」の金額です。

実際にもらえた金額は760円なので、240円分ずれが生じています。

さて、無事にすべてのパックを運べれば1,000円もらえたのに、実際は760円しか受け取っていないということは、お皿を割ったことで240円損をしていることがわかります。

では、何パック壊してしまったのでしょうか。

ここで、上で説明した、「つるをかめに変身させる」やり方を使います。

無事に運べた50パックのうち、1パックを「壊れた」に変えるとどうなるか。

もらえたはずの20円はなくなり、さらに自腹で40円を支払わなくてはいけない。

よって、1パック割るごとに60円損をするということになります。

ここまでわかれば、あとは割り算で答えを求めることが出来ます。

1枚割ると60円損をするところ、240円分割ってしまった。

とうことは、240円 ÷ 60円= 4パック。

壊れた卵のパックの個数は4個と答えが出ます。

つるかめ算を効率よく、体系立てて学ぶには、以下のようなドリルも有効です。

 

つるかめ算 3

 

出版社 学研教育出版
価格 ¥1,100より

 

まとめ

以上、つるかめ算の基本編と応用編でした。

問題のなかに「2種類のものの2つの合計」が出てきたら「あ、つるかめ算の出番だ」と気付かなければなりません。

つるかめ算は、やり方さえ抑えてしまえば決して難しくはありません。

何度もつるかめ算を解くことで、何もみずに、まっさらなノートに一人で解答が書けるようになりましょう。

ところで、なれてしまえば比較的優しいつるかめ算ですが、求める値が1つ増えるだけで急に難問となります。

例えば、「つる、かめ、カブトムシの頭数が合計16、足の数が合計54本、つるとかめの頭数比が3:1のとき、カブトムシは何匹いますか。」

などです。

この問の解き方は、全てがカブトムシだとすると...と仮定するところから始まります。

全てが「つる or かめ」の考え方はここでも役に立つのです。

ですが、このような難問を解けるようになる前に、しっかりと基本編の問題集をやり込みましょう。

難問に挑戦するのはその後です。

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